1. INTEGRACIÓN
Función primitiva
Antiderivada
Integral indefinida
Ejercicios resueltos
Ejercicios propuestos
Tabla de integrales inmediatas
Ejercicios propuestos
Integrando
Ejercicios resueltos y ejercicios propuestos
Caso en que el integrando es una raíz de índice superior a 2
Ejercicios resueltos
Ejercicios propuestos
Ejercicios propuestos sobre los distintos casos ya estudiados
Integrales
Ejercicios resueltos
Ejercicios propuestos
Integrales
Ejercicios resueltos
Ejercicios propuestos
Integrales
Ejercicios resueltos
Ejercicios propuestos
La Integral en Economía
Hallar la función costo total a partir de la función costo marginal
Ejercicio resuelto
Ejercicios propuestos
Hallar la función ingreso medio a partir de la función ingreso marginal
Ejercicio resuelto
Ejercicios propuestos
Hallar la función beneficio total
Ejercicios propuestos
Propiedades de la integral indefinida
Métodos de integración
Integración por descomposición
Ejercicios resueltos
Ejercicios propuestos
Método por cambio de variable o sustitución
Ejemplos
Método de integración por partes
Ejercicios resueltos
Ejercicios propuestos
Integrales
Primer caso en que b = 0
Ejercicios resueltos
Ejercicios propuestos
Caso general: todos los coeficientes distintos de 0
Ejercicios resueltos
Ejercicios propuestos
Integración de funciones racionales por descomposición en fracciones simples
1°) Raíces del denominador reales y distintas
Ejercicios resueltos
Ejercicios propuestos
2°) Raíces del denominador reales, pero hay raíces múltiples
Ejercicios resueltos
Ejercicios propuestos
3°) Entre las raíces del denominador figuran raíces que son números complejos conjugados
Ejercicios resueltos
Ejercicios propuestos
4°) En el denominador figuran raíces complejas múltiples
Ejercicios resueltos
Ejercicios propuestos
Integración de funciones trigonométricas
Primer caso: el integrando es una potencia impar de sen x, o de cos x
Ejercicios resueltos
Segundo caso: el integrando es una potencia par de sen x o de cos x
Ejercicios resueltos
Tercer caso: el integrando es el producto sen mx por cos nx o de dos sen o de dos cos
Ejercicios resueltos
Cuarto caso: el integrando es una potencia de sen x por una potencia de cos x
Ejercicios resueltos
Ejercicios propuestos
Integración de expresiones racionales de funciones trigonométricas
Ejercicios resueltos
Ejercicios propuestos
Integración de funciones irracionales
Primer caso: en el integrando figuran dos o más raíces de distinto índice
Ejercicios resueltos
Ejercicios propuestos
Segundo caso: en el integrando figuran raíces cuadradas de polinomios de primer grado
Ejercicios resueltos
Ejercicios propuestos
Tercer caso: en el integrando figuran radicales
Ejercicio resuelto
Ejercicios propuestos
Cuarto caso: en el integrando figuran expresiones
Ejercicios resueltos
Ejercicios propuestos
Quinto caso: en el integrando figura una raíz cuadrada
Ejercicios resueltos
Ejercicios propuestos
Sexto caso: en el integrando figura una raíz cuadrada
Ejercicios resueltos
Ejercicios propuestos
Otros procesos de resolución de los ejercicios ya considerados
Ejercicios resueltos
Ejercicios propuestos
Resolución mediante sustituciones trigonométricas
Ejercicios resueltos
Ejercicios propuestos
Tabla completa de primitivas
2. INTEGRAL DEFINIDA
Definición
Fórmula de Barrow
Ejemplos resueltos
Reseña histórica
Propiedades de la integral definida
Observación
Teorema del valor medio de la integral
Integrales impropias
De primera especie b = + infinito
Ejercicios resueltos
Ejercicios propuestos
Si a = - infinito
Ejercicios resueltos
Cuando a es - infinito y b es + infinito
De segunda especie: la discontinuidad es en el extremo b
La discontinuidad es en el extremo b
Ejercicio resuelto
La discontinuidad es en el extremo a
Ejercicio resuelto
La discontinuidad es un punto interior del intervalo
Aplicaciones geométricas de la integral definida
Cálculo del área comprendida entre la curva gráfica de la función f(x), el eje x y las rectas
x = a, x = b
Cálculo de áreas mediante la integral definida
Ejercicios resueltos
Cuando la curva está en el semiplano inferior con respecto al eje x
Ejercicios resueltos
Cuando la curva corta al eje x en distintos puntos
Ejercicios propuestos
El problema del área y la integral definida
Cambio de los extremos de integración que corresponden a un cambio de la variable en el
integrando
Ejemplos de aplicación
Ejercicios propuestos
Arca de una zona comprendida entre dos curvas
Ejercicios resueltos
Resolución del ejercicio cuando se integra con respecto al eje y
Cálculo del área de una zona limitada por 3 ó más curvas
Ejercicios propuestos
Cálculo de la longitud de un arco de curva mediante integrales
Ejemplos resueltos
Ejercicios propuestos
Caso en que la función está expresada paramétricamente
Ejercicios resueltos
Ejercicio propuesto
Volúmenes de cuerpos de revolución
Determinación de volúmenes de cuerpos de revolución mediante integrales
Ejercicios resueltos
Caso en que el arco atraviesa el eje
Nota
Caso en que la superficie que genera el volumen está limitada por una curva cerrada que no
atraviesa el eje alrededor del cual gira
Ejercicio resuelto
Ejercicios propuestos
Volumen del cuerpo de revolución, cuando la figura gira alrededor del eje y
Ejercicios resueltos
Ejercicios propuestos
Volúmenes de cuerpos generados por una figura que gira alrededor de ejes paralelos a los ejes
coordenados
Ejercicio resuelto
Ejercicios propuestos
Áreas de superficies de revolución
Ejercicio resuelto
Ejercicios propuestos
Casos en que la curva está dada paramétricamente
Ejercicios resueltos
Áreas de superficies de revolución cuando el arco gira alrededor del eje y
Ejercicio resuelto
Caso en que conviene aplicar la fórmula
Ejercicios propuestos
Área de la superficie de revolución generada por el contorno de una figura comprendida entre 2
curvas, cuando gira alrededor de uno de los ejes coordenados
Ejercicios propuestos
Aplicaciones de la integral definida a la Economía
Cálculo del ingreso total
Ejercicio resuelto
Ejercicios propuestos
Cálculo del costo total
Ejercicio resuelto
Ejercicios propuestos
Aplicaciones del cálculo integral a la Física
Momento estático o de primer orden de un punto material
Momento estático y centro de gravedad de un arco de curva material
Coordenadas del centro de gravedad
Ejercicio resuelto
Momento estático y centro de gravedad de figuras planas materiales
Coordenadas del centro de gravedad
Ejercicios resueltos
Teoremas de Guldin
Primer Teorema de Guldin
Ejercicios resueltos
Segundo Teorema de Guldin
Ejercicios resueltos
Momentos estáticos y centro de gravedad de cuerpos materiales de revolución
Coordenadas del centro de gravedad
Ejercicio resuelto
Ejercicios propuestos
Momentos de inercia o de segundo orden
Momento polar
Ejercicios resueltos
Teorema de Steiner
Ejercicios propuestos
3. SERIES NUMÉRICAS
Sucesiones
Sucesión numérica acotada
Sucesión numérica convergente
Series numéricas
Definición
Término general
Ejercicios propuestos
Clasificación de series
Series convergentes, divergentes y oscilantes
Propiedades
Convergencia absoluta
Condición necesaria para la convergencia de una serie numérica
Serie armónica
Ejercicios propuestos
Criterios de convergencia
Series geométricas
Definición y ejemplos
Clasificación de series geométricas según el valor absoluto de la razón
Ejercicios resueltos
Ejercicios propuestos
Series de términos positivos
Criterios de comparación para las series de términos positivos
Criterio de comparación o de Gauss
Ejercicios resueltos
Ejercicios propuestos
Consecuencias del criterio de comparación
Criterio del cociente o de D´Alambert
Nota histórica de D´Alambert, Juan Le Rond
Teorema correspondiente al criterio del cociente
Enunciado del criterio
Expresión en símbolos y justificación del criterio
Ejercicios resueltos
Ejercicios propuestos
Criterio de Raabe
Teorema correspondiente
Expresión simbólica y justificación del criterio
Ejercicios resueltos
Ejercicios propuestos
Criterio de la raíz o de Cauchy
Ejercicios resueltos
Ejercicios propuestos
Criterio integral
Ejemplo: Clasificación de la serie
Ejercicios propuestos
Series alternadas
Criterio de convergencia de Leibniz
Ejercicio resuelto
Ejercicios propuestos
Ejercicios propuestos de series absolutamente convergentes
4. SERIES DE POTENCIAS O ENTERAS
Series de funciones
Ejemplos
Series de potencias
Observaciones
Teorema de Abel
Corolario
Radio de convergencia
Determinación del radio de convergencia
Ejercicios resueltos
Ejercicios propuestos
Desarrollo de funciones en serie de potencias
Serie de Mac Laurin
Ejercicios resueltos
Ejercicios propuestos
5. ALGUNAS ECUACIONES DIFERENCIALES SENCILLAS
Ejemplos
Consideraciones generales
Ecuaciones diferenciales de primer orden de variables separables
Ejercicios resueltos
Ejercicios propuestos
Algunas ecuaciones sencillas de segundo orden
Ejercicio resuelto
Ejercicios propuestos
Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden
Primer caso
Ejercicio resuelto
Segundo caso
Ejercicios resueltos
Ejercicios propuestos
Ecuaciones diferenciales de segundo orden lineales homogéneas con coeficientes constantes
Ejemplo
Ecuación característica
Resolución
Primer caso: las raíces de la ecuación característica son reales y distintas
Ejercicio resuelto
Segundo caso: las raíces de la ecuación característica son reales e iguales
Ejercicio resuelto
Problemas en que se impone el valor de las constantes
Tercer caso: las raíces de la ecuación característica son números complejos conjugados
Ejercicios propuestos