Esta nueva edición revisada, corresponde a la edición anterior en dos tomos.
Este libro fue redactado con el pensamiento puesto en el estudiante que acaba de egresar del ciclo medio, que va a asistir a una universidad donde el número de docentes es sumamente pequeño frente al número de alumnos de los cursos y que tendrá que vencer por sí mismo buena parte de las dificultades.
Ello justifica que se hayan dedicado las cien primeras páginas a estudiar las principales funciones, insistiendo mucho en las representaciones gráficas y en los valores numéricos.
El libro contiene unos 2.500 ejemplos y ejercicios, todos con su correspondiente respuesta, para que el estudiante pueda verificar el acierto o el error en la resolución de los problemas.
La ordenación del presente texto corresponde a una presentación sistemática de los distintos temas: funciones, límites derivadas y diferenciales, integrales y series. Cada profesor, al dictar su curso, podría variar este criterio según convenga a las aplicaciones de los nuevos conceptos a problemas geométricos, físicos o técnicos.
ÍNDICE
PRIMERA PARTE . CÁLCULO DIFERENCIAL
Capítulo I.- INTRODUCCIÓN
1. Revisión del concepto de número
Números naturales.
Números enteros.
Números racionales.
El problema de la medida.
Decimales.
Expresiones decimales infinitas.
Abscisas racionales.
Expresiones decimales infinitas no periódicas.
Números irracionales.
Representación de los números reales.
Operaciones con números reales.
Números imaginarios.
Representación gráfica.
Teorema final de la aritmética.
2. El principio de inducción completa
Capítulo II.- FUNCIONES. REPRESENTACIONES GRÁFICAS
1. Valores numéricos
2. Valores absolutos.
Intervalos. Entornos
3. Funciones
Campo de existencia.
Observación sobre la definición de función.
4. Coordenadas cartesianas
5. Dibujos y escalas
6. Funciones uniformes y multiformes
7. Funciones pares e impares
8. Funciones definidas paramétricamente
9. Representación en coordenadas polares
Capítulo III.- FUNCIONES ALGEBRAICAS
1. La función lineal y la línea recta
Casos particulares de rectas.
Rectas paralelas y perpendiculares.
Rectas que pasan por un punto.
Recta que pasa por dos puntos.
Gráficos de movimientos uniformes.
Ecuaciones paramétricas de una recta.
2. Función cuadrática
Valores máximos y mínimos de la función cuadrática.
Trayectoria de un proyectil en el vacío.
Desigualdad de 2° grado.
Curvas de 2° grado.
3. Función racional entera
Regla de Ruffini.
Casos particulares.
Descomposición factorial de un polinomio.
4. Función homográfica
5. Función racional fraccionaria.
Descomposición en fracciones simples
6. Función irracional
7. Función algebraica general
Capítulo IV.- FUNCIONES TRASCENDENTES
1. Función exponencial
2. Curva de Gauss
3. Función logarítmica
Escalas y gráficos logarítmicos.
4. Función potencial
Representaciones con papel logarítmico.
5. Funciones trigonométricas
Medida natural de ángulos.
Definiciones de las funciones trigonométricas.
Líneas trigonométricas.
6. Gráficos en coordenadas polares
Espirales.
7. Función sinusoidal
Movimiento vibratorio armónico
8. Ecuaciones paramétricas de las cónicas
Elipse.
Hipérbola.
9. Curvas de Lissajous
10. Sinusoide amortiguada
11. Funciones ciclométricas
12. Funciones hiperbólicas
13. Funciones hiperbólicas inversas
Relaciones entre las funciones hiperbólicas inversas y los logaritmos neperianos.
Relaciones entre las funciones circulares e hiperbólicas.
Amplitud hiperbólica.
Capítulo V. - LÍMITES
1. Límite de una función
2. Infinitésimos
Operaciones con infinitésimos.
Cociente de infinitésimos.
Órdenes infinitesimales.
3. Cálculo de límites
Estudio de la función f (x) = sen x /x
4. "Verdadero valor"
5. Límites infinitos
Definición.
Variable infinita
6. Continuidad de una función
Tipos de discontinuidades.
Operaciones con funciones continuas.
7. Continuidad de las funciones elementales
Teoremas generales sobre la continuidad.
Una función sin límite.
8. Límite de sucesiones
Definición.
Sucesión de Fibonacci y secciones áureas.
Límite de una sucesión.
9. Asíntotas de curvas planas
Capítulo VI. - DERIVADA
1. Pendientes e incrementos
2. Límite del cociente incremental
3. Derivada de una función en un punto
Derivabilidad y continuidad.
Técnica de la derivación.
4. Ecuación de la recta tangente y de la recta normal
5. Función derivada.
Derivación gráfica
6. Cálculo de derivadas
7. Derivada de función de función
Derivación logarítmica.
8. Tangente y normal.
Subtangente y subnormal
9. Ángulo de dos curvas
Una función sin derivada.
Capítulo VII. - DERIVADAS Y DIFERENCIALES SUCESIVAS
1. Definiciones
Derivada enésima de un producto de dos funciones.
Regla de Leibniz.
2. Diferencial de una función
Expresión de la derivada como cociente de diferenciales.
Invariancia de la diferencial.
3. Derivada de funciones dadas implícitamente
4. Diferenciales sucesivas
5. Cálculo de errores mediante diferenciales
6. Derivadas de funciones dadas paramétricamente
Regla práctica.
Derivadas segundas.
7. Tangente a las curvas dadas en coordenadas polares
Segmentos polares notables.
8. Aplicaciones, físicas
El concepto de velocidad.
El concepto de aceleración.
9. Vectores
Expresión cartesiana.
Derivada de un vector.
Capítulo VIII. - VARIACIÓN DE FUNCIONES
1. Funciones crecientes y decrecientes
2. Máximos y mínimos relativos
Determinación de máximos y mínimos.
Máximos y mínimos de una función racional.
3. Concavidad, convexidad e inflexión de las curvas
4. Cálculo de máximos y mínimos sin derivadas
Distancias mínimas.
Aplicación.
Triángulos de área máxima y perímetro mínimo.
Problema isoperimétrico.
Teorema de Crámer.
Teoremas de Zenodoro.
Capítulo IX. - APROXIMACIÓN DE FUNCIONES
1. Teorema del valor medio
Teorema de Rolle.
2. Teorema de Cauchy .
3. Límites indeterminados. Regla de L'Hospital
4. Teorema generalizado del valor medio
5. Fórmula de Maclaurin para un polinomio
Desarrollo del binomio de Newton.
6. Fórmula de Maclaurin para una función cualquiera
7. Fórmula de Taylor
Expresión del resto en la fórmula de Taylor.
Cálculo de funciones mediante la fórmula de Maclaurin.
8. Aproximación de funciones
Recta tangente.
Parábola osculatriz.
Contacto de dos curvas.
9. Discusión analítica de los máximos y mínimos
10. Concavidad, convexidad e inflexión
SEGUNDA PARTE - CÁLCULO INTEGRAL
Capítulo X.- INTEGRALES INDEFINIDAS
1. Introducción
Teorema fundamental del cálculo integral.
2. Integrales indefinidas
Propiedades.
Linealidad de la integración.
Integración inmediata.
3. Integración por sustitución
4. Integración de expresiones de la forma (*)
5. Integración de expresiones de la forma (*)
Algunas integrales importantes
6. Integración de expresiones de la forma (*)
7. Integración por partes
Fórmulas de reducción.
8. Cálculo de integrales aplicando complejos
9. Integración de funciones racionales (*)
Introducción.
Descomposición en fracciones simples.
Solución del problema general.
Teorema general de integración de las funciones racionales.
10. Integración de funciones irracionales algebraicas
11. Integración de diferenciales binomias
Casos de integración.
Funciones integrables y no integrables elementalmente.
12. Integración de funciones trigonométricas
Teorema general.
13. Integración de productos de senos y cosenos
Fórmulas de reducción.
14. Determinación de la constante de integración
Significación física de la constante de integración.
Capítulo XI. - INTEGRALES DEFINIDAS
1. El problema del área
2. Definición general de integral definida
Propiedades de las integrales definidas.
3. Teorema de la media
4. Integración gráfica
Integral definida con extremo superior variable.
Relaciones entre la gráfica de una función y la de su integral.
5. Teoremas fundamentales
6. Cálculo de integrales definidas
7. Valor medio y valor eficaz de una función
Aplicación física.
8. Integración numérica aproximada
Fórmula de los trapecios.
Fórmula de Simpson.
Error en la fórmula de Simpson.
9. Área en coordenadas paramétricas
10. Áreas orientadas
11. Área en coordenadas polares
Relaciones entre las expresiones de las áreas en coordenadas polares y paramétricas.
12. Integrales generalizadas
13. Cálculo de algunas integrales definidas
Fórmula de Wallis.
Integral de Poisson.
Fórmula de Stirling.
Determinación de K.
La función Gamma.
Cálculo de (*).
La función Beta.
Capítulo XII. - APLICACIONES GEOMÉTRICAS
1. Rectificación de curvas
Curva no rectificable.
2. Diferencial de arco.
Vector ds (*)
3. Longitud de un arco en coordenadas paramétricas
4. Integrales elípticas
5. Longitud de un arco en coordenadas polares
6. Curvatura de curvas planas
7. Curvatura en coordenadas paramétricas
8. Curvatura en coordenadas polares
9. Expresión vectorial de la curvatura
Movimiento de un punto sobre una curva.
Componentes polares de la aceleración. Movimiento central.
10. Círculo osculador
Construcción gráfica del centro de curvatura.
11. Evoluta de una curva.
Evolvente
12. Volumen de un sólido
13. Volumen de un sólido de revolución
14. Área de un sólido de revolución
Capítulo XIII. - APLICACIONES FÍSICAS
1. Momentos de un sistema de puntos materiales situados en una recta
Momento de inercia mínimo.
Aplicaciones a la estadística.
2. Momentos de un sistema de puntos materiales situados en un plano
Momentos de inercia.
3. Momentos de líneas, superficies y volúmenes
Momentos de una línea.
Centro de gravedad de una figura compuesta.
Centro de gravedad de una superficie.
Centro de gravedad de una figura compuesta.
Centro de gravedad de una superficie limitada por una curva dada en coordenadas polares.
Centro de gravedad de un sólido.
4. Teoremas de Papus o de Guldin
5. Momentos de inercia
6. Trabajo
Definición.
Teorema de la fuerza viva.
Trabajo de la gravedad.
Trabajo de expansión de un gas perfecto.
El ciclo de Carnot.
Capítulo XIV. - SERIES NUMÉRICAS
1. Definiciones
2. Serie geométrica
3. Condición necesaria de convergencia
4. Condición necesaria y suficiente de convergencia
5. Series de términos positivos
6. Criterios de comparación
Momentos de líneas, superficies y volúmenes.
Convergencia.
Divergencia.
Otras formas de los criterios de comparación.
7. Criterios de convergencia: D'Alembert, Cauchy, Kummer y Raabe
8. Criterio de la integral de Cauchy
Series e integrales.
9. Serie de términos alternados
Cálculo del error en las series alternadas.
10. Serie de términos cualesquiera
Convergencia absoluta y condicional.
Teorema de Riemann.
11. Series de términos complejos
12. Álgebra de las series
Propiedad asociativa.
Propiedad conmutativa.
Suma de series.
Multiplicación de series.
Teorema de Cauchy.
Otros teoremas sobre productos de series.
Un ejemplo crítico de producto de series.
Capítulo XV. - SERIES DE POTENCIAS
1. Introducción
2. Fórmulas de Taylor y de Maclaurin
3. Desarrollo de funciones en series de potencia
La función exponencial en el campo complejo.
Fórmulas de Euler.
Relaciones con las funciones hiperbólicas.
4. Operaciones con series de potencias
División de series de potencias.
5. Derivación e integración de series
6. Cálculo de logaritmos
Interpolación en las tablas de logaritmos.
Cálculo de n.
7. Desarrollo del binomio
Series de arc sen x y Arg Sh x.
8. Cálculo de límites indeterminados
9. Cálculo de las integrales elípticas
10. Cálculo aproximado de integrales
11. Desarrollos asintóticos
La función error.
12. Series divergentes
Un teorema de Cauchy sobre sucesiones.
Autores:
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